微分積分例

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

ステップ 1.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $x^{3} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

ステップ 1.1.1.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

ステップ 1.1.1.3.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x^{2} + 1)$ です。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.2

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.2.2

$(x + 1) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.5.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.5.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.6.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7.1.2

$A (x^{2} + 1)$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7.3

$A$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7.4

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.7.4.2

$(B x + C) (x)$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

ステップ 1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

ステップ 1.1.7.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.7.6.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

ステップ 1.1.7.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

ステップ 1.1.8

$A$ を移動させます。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

ステップ 1.3.2

方程式を $A = - 1$ として書き換えます。

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

ステップ 1.3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.3.1

$1 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

ステップ 1.3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

括弧を削除します。

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

ステップ 1.3.4

$1 = - 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.4.1

方程式を $- 1 + B = 1$ として書き換えます。

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.3.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

ステップ 1.3.4.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

ステップ 1.3.5

連立方程式を解きます。

$B = 2 A = - 1 C = 0$

ステップ 1.3.6

すべての解をまとめます。

$B = 2, A = - 1, C = 0$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

括弧を削除します。

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 6.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 7.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 9.3

$\int \frac{1}{u} d u$ に $1$ をかけます。

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

ステップ 11

簡約します。

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

微分積分 例

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