微分積分例

$y = x e^{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 1.3.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x e^{x} + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.2.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

ステップ 2.4.3

$e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x e^{x} + 2 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ です。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f''' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

ステップ 3.2.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$e^{x}$ と $2 e^{x}$ をたし算します。

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 3.4.2

項を並べ替えます。

$f''' (x) = e^{x} x + 3 e^{x}$

ステップ 3.4.3

$e^{x} x + 3 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $x e^{x} + 3 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$f^{4} (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 4.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 4.2.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 4.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = x e^{x} + e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$e^{x}$ と $3 e^{x}$ をたし算します。

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$

ステップ 4.4.2

項を並べ替えます。

$f^{4} (x) = e^{x} x + 4 e^{x}$

ステップ 4.4.3

$e^{x} x + 4 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f^{4} (x) = x e^{x} + 4 e^{x}$

微分積分 例

微分積分例