微分積分例

$y = 4^{e^{x^{2}}}$

ステップ 1

$f (x) = 4^{x}$ および $g (x) = e^{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{x^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [4^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 1.2

$a$ = $4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4^{u_{1}} \ln (4) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{x^{2}}$ で置き換えます。

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (2 x))$

ステップ 3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \cdot {(2^{2})}^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

ステップ 3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \cdot 2^{2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

ステップ 4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$ の因数を並べ替えます。

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} x \ln (4)$

ステップ 5.2

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} x \ln (4)$ の因数を並べ替えます。

$x \cdot 2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} \ln (4)$

微分積分 例

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