微分積分例

$y = \frac{x}{2 - \tan (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{2 - \tan (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = 2 - \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2 - \tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [2 - \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $2 - \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ です。

$\frac{2 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ をたし算します。

$\frac{2 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \tan (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\frac{2 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.7

掛け算します。

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ステップ 3.2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.7.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{2 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$\frac{x \sec^{2} (x) + 2 - \tan (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{x \sec^{2} (x) + 2 - \tan (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec^{2} (x) + 2 - \tan (x)}{{(2 - \tan (x))}^{2}}$

微分積分 例

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