微分積分例

$y = {(x^{- 2} + x)}^{- 3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{- 2} + x)}^{- 3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = x^{- 2} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{- 2} + x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{- 2} + x]$

ステップ 3.1.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{- 2} + x]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{- 2} + x$ で置き換えます。

$- 3 {(x^{- 2} + x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{- 2} + x]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{- 2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 {(x^{- 2} + x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 {(x^{- 2} + x)}^{- 4} (- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 {(x^{- 2} + x)}^{- 4} (- 2 x^{- 3} + 1)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 3 {(x^{- 2} + x)}^{- 4} (- 2 x^{- 3} + 1)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 3 {(x^{- 2} + x)}^{- 4} (- 2 x^{- 3} + 1)$

微分積分 例