微分積分例

$\sum_{n = 1}^{\infty} - 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、無限等比級数の和は公式 $\frac{a}{1 - r}$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ と ${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ を ${(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$

ステップ 2.2.3

$n$ と $0$ をたし算します。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - (n - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - n - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - n + 1}$

ステップ 2.2.5

$n$ から $n$ を引きます。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$r = - \frac{1}{2}$

ステップ 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

ステップ 4

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 4.1

$n$ の $1$ を $- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ に代入します。

$a = - 4 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = - 4 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

ステップ 4.2.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.2.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$a = - 4 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

ステップ 4.2.2.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$a = - 4 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

ステップ 4.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = - 4 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

ステップ 4.2.4

$\frac{1^{0}}{2^{0}}$ に $1$ をかけます。

$a = - 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

ステップ 4.2.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = - 4 \frac{1}{2^{0}}$

ステップ 4.2.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

ステップ 4.2.7

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.7.1

共通因数を約分します。

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

ステップ 4.2.7.2

式を書き換えます。

$a = - 4 \cdot 1$

ステップ 4.2.8

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a = - 4$

ステップ 5

比と第1項の値を和の公式に代入します。

$\frac{- 4}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 4}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 4}{1 + \frac{1}{2}}$

ステップ 6.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- 4}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 6.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 4}{\frac{2 + 1}{2}}$

ステップ 6.1.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 4}{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- 4 (\frac{2}{3})$

ステップ 6.3

$- 4 (\frac{2}{3})$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$- 4$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 2}{3}$

ステップ 6.3.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 8}{3}$

ステップ 6.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{8}{3}$

10進法形式：

$- 2.\overline{6}$

帯分数形：

$- 2 \frac{2}{3}$

微分積分 例

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