微分積分例

$s = {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2

$t$ に関する $s$ の微分係数は $s'$ です。

$s'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ および $g (t) = 11 t - t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $11 t - t^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $11 t - t^{2}$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.6.2

$\frac{2}{3}$ と ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2 {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

ステップ 3.7

総和則では、 $11 t - t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ です。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

ステップ 3.8

$11$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $11 t$ の微分係数は $11 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

ステップ 3.10

$11$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

ステップ 3.11

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 3.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - (2 t))$

ステップ 3.13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$

ステップ 3.14

簡約します。

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ステップ 3.14.1

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$ の因数を並べ替えます。

$(11 - 2 t) \frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3.14.2

$11 - 2 t$ に $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$\frac{(11 - 2 t) \cdot 2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3.14.3

$2$ を $11 - 2 t$ の左に移動させます。

$\frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$s' = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5

$s'$ を $\frac{d s}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

微分積分 例

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