微分積分例

$\sqrt{x + y} = 1 + x^{2} y^{2}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + y}$ を ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 + x^{2} y^{2}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2} y^{2})$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.6.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.7

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.9

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ の因数を並べ替えます。

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.10.2

$1 + y'$ に $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

微分します。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $1 + x^{2} y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

ステップ 4.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$0 + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$0 + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)$

ステップ 4.2.5

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$0 + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

ステップ 4.2.6

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$0 + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

ステップ 4.3

$0$ と $2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$ をたし算します。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

両辺に $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.3

${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$1 + y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.1.1.4

$1$ と $y'$ を並べ替えます。

$y' + 1 = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y' + 1 = 2 x^{2} y y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2.3

$y$ を移動させます。

$y' + 1 = 4 x^{2} y' y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2.4

$x^{2}$ を移動させます。

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2.5

$y^{2}$ を移動させます。

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$y' + 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

ステップ 6.3.3

$y'$ を $y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.3.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

ステップ 6.3.3.2

$y'$ を $- 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

ステップ 6.3.3.3

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

ステップ 6.3.4

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ の各項を $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ の各項を $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で割ります。

$\frac{y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 6.3.4.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例