微分積分例

$x^{3} < 49 x$

ステップ 1

不等式の両辺から $49 x$ を引きます。

$x^{3} - 49 x < 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 49 x = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{3} - 49 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 49 x = 0$

ステップ 3.1.2

$x$ を $- 49 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 49 = 0$

ステップ 3.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 49$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 49) = 0$

ステップ 3.2

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$x (x^{2} - 7^{2}) = 0$

ステップ 3.3

因数分解。

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ステップ 3.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 7$ です。

$x ((x + 7) (x - 7)) = 0$

ステップ 3.3.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 7) (x - 7) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0$

ステップ 5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6

$x + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x + 7 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 7

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 8

最終解は $x (x + 7) (x - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 7, 7$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

${(- 10)}^{3} < 49 (- 10)$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 1000$ は右辺 $- 490$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $- 7 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 7 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{3} < 49 (- 4)$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 64$ は右辺 $- 196$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間 $0 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $0 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{3} < 49 (4)$

ステップ 10.3.3

左辺 $64$ は右辺 $196$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.4

区間 $x > 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

${(10)}^{3} < 49 (10)$

ステップ 10.4.3

左辺 $1000$ は右辺 $490$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < 0$ 偽

$0 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < 0$ 偽

$0 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 7$ または $0 < x < 7$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 7) \cup (0, 7)$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例