微分積分例

$8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$8 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{3}] + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 9$ とします。

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 9$ で置き換えます。

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$8 (x (6 {(x^{2} + 9)}^{2} x) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$8 (x^{1} x (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$x$ を $1$ 乗します。

$8 (x^{1} x^{1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 10

${(x^{2} + 9)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

ステップ 11.2

$6$ に $8$ をかけます。

$48 (x^{2} ({(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

ステップ 11.3

$8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ を $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2} + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 11.3.1

$8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ を $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}$ で因数分解します。

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

ステップ 11.3.2

$8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ を $8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ で因数分解します。

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$

ステップ 11.3.3

$8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ を $8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$ で因数分解します。

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 9)$

ステップ 11.4

$6 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.5

${(x^{2} + 9)}^{2}$ を $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ に書き換えます。

$8 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ を展開します。

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ステップ 11.6.1

分配則を当てはめます。

$8 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.6.2

分配則を当てはめます。

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.6.3

分配則を当てはめます。

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 11.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.7.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 11.7.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.7.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$8 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.7.1.2

$9$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$8 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.7.1.3

$9$ に $9$ をかけます。

$8 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.7.2

$9 x^{2}$ と $9 x^{2}$ をたし算します。

$8 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.8

分配則を当てはめます。

$(8 x^{4} + 8 (18 x^{2}) + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.9

簡約します。

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ステップ 11.9.1

$18$ に $8$ をかけます。

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.9.2

$8$ に $81$ をかけます。

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$

ステップ 11.10

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$ を展開します。

$8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11

各項を簡約します。

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ステップ 11.11.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 \cdot 7 x^{4} x^{2} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 11.11.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$8 \cdot 7 (x^{2} x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \cdot 7 x^{2 + 4} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.2.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$8 \cdot 7 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.3

$8$ に $7$ をかけます。

$56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.4

$9$ に $8$ をかけます。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2} x^{2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.6

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 11.11.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 (x^{2} x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2 + 2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.6.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.7

$144$ に $7$ をかけます。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.8

$9$ に $144$ をかけます。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.9

$7$ に $648$ をかけます。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 648 \cdot 9$

ステップ 11.11.10

$648$ に $9$ をかけます。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

ステップ 11.12

$72 x^{4}$ と $1008 x^{4}$ をたし算します。

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

ステップ 11.13

$1296 x^{2}$ と $4536 x^{2}$ をたし算します。

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 5832 x^{2} + 5832$

微分積分 例

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