微分積分例

$x {(1 - 2 x)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{3}] + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 1 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - 2 x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 - 2 x$ で置き換えます。

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7

$- 6$ に $1$ をかけます。

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \cdot 1$

ステップ 3.9

${(1 - 2 x)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(1 - 2 x)}^{2}$ を $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

${(1 - 2 x)}^{2}$ を $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2})$ で因数分解します。

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{3}$

ステップ 4.1.2

${(1 - 2 x)}^{2}$ を ${(1 - 2 x)}^{3}$ で因数分解します。

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$

ステップ 4.1.3

${(1 - 2 x)}^{2}$ を ${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$ で因数分解します。

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6) + 1 - 2 x)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

${(1 - 2 x)}^{2} (- 6 \cdot x + 1 - 2 x)$

ステップ 4.2.2

$- 6 x$ から $2 x$ を引きます。

${(1 - 2 x)}^{2} (- 8 x + 1)$

ステップ 4.3

${(1 - 2 x)}^{2}$ を $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ に書き換えます。

$(1 - 2 x) (1 - 2 x) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ を展開します。

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ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$(1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.4.2

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.4.3

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$(1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.5.1.2

$- 2 x$ に $1$ をかけます。

$(1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.5.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.5.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.5.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1.5.1

$x$ を移動させます。

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.5.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.5.1.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$(1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.5.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

ステップ 4.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$ を展開します。

$1 (- 8 x) + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7

各項を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 8 x$ に $1$ をかけます。

$- 8 x + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.2

$1$ に $1$ をかけます。

$- 8 x + 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.7.4.1

$x$ を移動させます。

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.5

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.6

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.7.8.1

$x$ を移動させます。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.8.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 4.7.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.8.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.9

$4$ に $- 8$ をかけます。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

ステップ 4.7.10

$4$ に $1$ をかけます。

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

ステップ 4.8

$- 8 x$ から $4 x$ を引きます。

$- 12 x + 1 + 32 x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

ステップ 4.9

$32 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$- 12 x + 1 - 32 x^{3} + 36 x^{2}$

微分積分 例

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