微分積分例

$y = (7 - x^{2}) (x^{3} - x + 5)$

ステップ 1

$f (x) = 7 - x^{2}$ および $g (x) = x^{3} - x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - x + 5] + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} - x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$(7 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

ステップ 2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

ステップ 2.6

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 + 0) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

ステップ 2.7

$3 x^{2} - 1$ と $0$ をたし算します。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

ステップ 2.8

総和則では、 $7 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.9

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (- (2 x))$

ステップ 2.13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 5) (- 2 x)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$(7 - x^{2}) (3 x^{2}) + (7 - x^{2}) \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$7 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + (7 - x^{2}) \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$7 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$3$ に $7$ をかけます。

$21 x^{2} - x^{2} (3 x^{2}) + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$21 x^{2} - 3 x^{2} x^{2} + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$21 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2}) + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$21 x^{2} - 3 x^{2 + 2} + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$21 x^{2} - 3 x^{4} + 7 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.4

$7$ に $- 1$ をかけます。

$21 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$21 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + 1 x^{2} + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$21 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{2} + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.7

$21 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.8

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1

$x$ を移動させます。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x \cdot x^{3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.8.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{1} x^{3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{1 + 3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.8.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 + x^{4} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.9

$- 2$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 \cdot x^{4} - x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.10

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x \cdot x + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.11

$x$ を $1$ 乗します。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 (x^{1} x) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.12

$x$ を $1$ 乗します。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x^{1 + 1} + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x^{2} + 5 (- 2 x)$

ステップ 3.5.15

$- 2$ に $5$ をかけます。

$22 x^{2} - 3 x^{4} - 7 - 2 x^{4} + 2 x^{2} - 10 x$

ステップ 3.5.16

$- 3 x^{4}$ から $2 x^{4}$ を引きます。

$22 x^{2} - 5 x^{4} - 7 + 2 x^{2} - 10 x$

ステップ 3.5.17

$22 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$24 x^{2} - 5 x^{4} - 7 - 10 x$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$- 5 x^{4} + 24 x^{2} - 10 x - 7$

微分積分 例

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