微分積分例

$y = \frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 (x))}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{2^{3} x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.4

$\frac{5}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{8 x^{3}}$ の微分係数は $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.5

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.6

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$\frac{5}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.6.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.6.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.8

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{8} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.8.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{5}{8} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.9

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.10

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.10.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{5}{8} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.10.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{8} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.10.3

$2$ から $6$ を引きます。

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.11

$- 3$ と $\frac{5}{8}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \cdot 5}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.12

$- 3$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 15}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.13

$\frac{- 15}{8}$ と $x^{- 4}$ をまとめます。

$\frac{- 15 x^{- 4}}{8} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 (- \sin (x))$

ステップ 3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{15}{8 x^{4}} - 2 \sin (x)$

微分積分 例

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