微分積分例

$y = \sqrt{\sin (\sqrt{x})}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\sin (x^{\frac{1}{2}})}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\sin (x^{\frac{1}{2}})}$ を ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 8

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 8.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 9

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 9.1

$\cos (x^{\frac{1}{2}})$ と $\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 13

分子を簡約します。

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ステップ 13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 14

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 15

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 17

掛け算します。

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ステップ 17.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{4 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

項を並べ替えます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.2

分数を分解します。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.3

$\frac{1}{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ を ${\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ に変換します。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}} {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.4

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ と ${\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{{\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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