微分積分例

$y = \ln (\frac{x}{1 + x^{2}})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{1 + x^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{1 + x^{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{x}{1 + x^{2}}$ で割ります。

$1 \frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 3

$\frac{1 + x^{2}}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

ステップ 4

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.2

$1 + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 10

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 11

$\frac{1 + x^{2}}{x}$ に $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$1 + x^{2}$ を $x {(1 + x^{2})}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - x^{2}}{x (1 + x^{2})}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - x^{2}}{x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}$

ステップ 13.2

項をまとめます。

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ステップ 13.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x^{2}}{x + x \cdot x^{2}}$

ステップ 13.2.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 13.2.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 13.2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1} x^{2}}$

ステップ 13.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1 + 2}}$

ステップ 13.2.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{3}}$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

微分積分 例

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