微分積分例

$\frac{s}{1 + s^{2}}$

ステップ 1

$f (s) = s$ および $g (s) = 1 + s^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ は $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + s^{2}) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + s^{2}) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

$1 + s^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $1 + s^{2}$ の $s$ に関する積分は $\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}]$ です。

$\frac{1 + s^{2} - s (\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

$1$ は $s$ について定数なので、 $s$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 + s^{2} - s (0 + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d s} [s^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + s^{2} - s (2 s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + s^{2} - 2 s \cdot s}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 3

$s$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 4

$s$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s^{1})}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{1 + 1}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 7

$s^{2}$ から $2 s^{2}$ を引きます。

$\frac{1 - s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$\frac{- s^{2} + 1}{{(s^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例