微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2} - 1$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$2$ を $x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1

$2 x^{2} x$ から $2 x^{2} x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.2

$2 \cdot 1 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.3

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

ステップ 2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.3.3

${(x^{2} + 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.5.2

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.5.2.2

$x^{2} + 1$ を $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ で因数分解します。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.5.2.3

$x^{2} + 1$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.6

共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.6.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.7

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.12

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = 4 (\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.16

$4$ と $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.2.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17.3

$4$ を $- 12 x^{2} + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.3.1

$4$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2}) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17.3.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17.3.3

$4$ を $4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17.4

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17.5

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17.6

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17.7

$- (3 x^{2} - 1)$ を $- 1 (3 x^{2} - 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 2.17.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$ です。

$f''' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{3 x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3.2

$f (x) = 3 x^{2} - 1$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{2} - 1) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{2} - 1) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{2} - 1) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $3 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.3.5

$2$ に $3$ をかけます。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x + 0) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.3.7.2

$6$ を ${(x^{2} + 1)}^{3}$ の左に移動させます。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{3} x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.5.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.5.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.5.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.5.5.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.2.1

$2$ を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) (2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.5.5.2.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.5.5.3

$- 4$ と $\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{- 4 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.5.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{(4) (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x + (- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.2

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

二項定理を利用します。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{4} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.3

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - \frac{4 ((6 x^{6} + 6 (3 x^{4}) + 6 (3 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.4.1

$3$ に $6$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{4 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 6 (3 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.4.2

$3$ に $6$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{4 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 18 x^{2} + 6 \cdot 1) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.4.3

$6$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{4 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 18 x^{2} + 6) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.5

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{6} x + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.1

指数を足して $x^{6}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.1.1

$x$ を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x \cdot x^{6}) + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.1.2

$x$ に $x^{6}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x \cdot x^{6}) + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{1 + 6} + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.1.3

$1$ と $6$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.2

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.2.1

$x$ を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 (x \cdot x^{4}) + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.2.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 (x \cdot x^{4}) + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{1 + 4} + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.2.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.3.1

$x$ を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.6.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{1 + 2} + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.6.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{3} + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.7

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7}) + 4 (18 x^{5}) + 4 (18 x^{3}) + 4 (6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.8.1

$6$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 4 (18 x^{5}) + 4 (18 x^{3}) + 4 (6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.8.2

$18$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 4 (18 x^{3}) + 4 (6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.8.3

$18$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 4 (6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.8.4

$6$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.9.1

$3$ に $- 6$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.9.2

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.10

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.11

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.11.1

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.11.2

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.11.3

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.12.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.12.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + 2 x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.13

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4} x + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.14.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.14.1.1

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.14.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4} x + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4 + 1} + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.1.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.14.2.1

$x$ を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 (x \cdot x^{2}) + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.14.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 (x \cdot x^{2}) + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{1 + 2} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.14.3

$x$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.15

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + x)$ を展開します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{2} x^{5} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.16.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.16.1.1

$x^{5}$ を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 (x^{5} x^{2}) - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{5 + 2} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.1.3

$5$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 18 \cdot (2 x^{2} x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.16.3.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 18 \cdot (2 (x^{3} x^{2})) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 18 \cdot (2 x^{3 + 2}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.3.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 18 \cdot (2 x^{5}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.4

$- 18$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.16.5.1

$x$ を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.16.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{1 + 2} + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{3} + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.16.6

$2$ に $6$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{3} + 6 x^{5} + 12 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.17

$- 36 x^{5}$ と $6 x^{5}$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 30 x^{5} - 18 x^{3} + 12 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.18

$- 18 x^{3}$ と $12 x^{3}$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 30 x^{5} - 6 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.19

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7}) + 4 (- 30 x^{5}) + 4 (- 6 x^{3}) + 4 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.20.1

$- 18$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 72 x^{7} + 4 (- 30 x^{5}) + 4 (- 6 x^{3}) + 4 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.20.2

$- 30$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 72 x^{7} - 120 x^{5} + 4 (- 6 x^{3}) + 4 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.20.3

$- 6$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 72 x^{7} - 120 x^{5} - 24 x^{3} + 4 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.20.4

$6$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 72 x^{7} - 120 x^{5} - 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.21

$24 x^{7}$ から $72 x^{7}$ を引きます。

$f''' (x) = - \frac{- 48 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 120 x^{5} - 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.22

$72 x^{5}$ から $120 x^{5}$ を引きます。

$f''' (x) = - \frac{- 48 x^{7} - 48 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.23

$72 x^{3}$ から $24 x^{3}$ を引きます。

$f''' (x) = - \frac{- 48 x^{7} - 48 x^{5} + 48 x^{3} + 24 x + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.24

$24 x$ と $24 x$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{- 48 x^{7} - 48 x^{5} + 48 x^{3} + 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25

因数分解した形で $- 48 x^{7} - 48 x^{5} + 48 x^{3} + 48 x$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.25.1

$48 x$ を $- 48 x^{7} - 48 x^{5} + 48 x^{3} + 48 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.25.1.1

$48 x$ を $- 48 x^{7}$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6}) - 48 x^{5} + 48 x^{3} + 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.2

$48 x$ を $- 48 x^{5}$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6}) + 48 x (- x^{4}) + 48 x^{3} + 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.3

$48 x$ を $48 x^{3}$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6}) + 48 x (- x^{4}) + 48 x (x^{2}) + 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.4

$48 x$ を $48 x$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6}) + 48 x (- x^{4}) + 48 x (x^{2}) + 48 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.5

$48 x$ を $48 x (- x^{6}) + 48 x (- x^{4})$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6} - x^{4}) + 48 x (x^{2}) + 48 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.6

$48 x$ を $48 x (- x^{6} - x^{4}) + 48 x (x^{2})$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2}) + 48 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.1.7

$48 x$ を $48 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2}) + 48 x (1)$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.25.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{6} - x^{4}) + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (x^{4} (- x^{2} - 1) - 1 (- x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.3

最大公約数 $- x^{2} - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) (x^{4} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.4

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.25.7.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.7.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.8

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.25.8.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- (x^{2}) - 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.8.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.8.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.8.4

$- (x^{2} + 1)$ を $- 1 (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- 1 (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.8.5

$x^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- 1 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.8.6

$x^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- 1 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.8.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- 1 {(x^{2} + 1)}^{1 + 1} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.8.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- 1 {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

$f''' (x) = - \frac{48 x \cdot (- 1 {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.3.25.9

$- 1$ に $48$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{- 48 x {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ と ${(x^{2} + 1)}^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $- 48 x {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 48 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

ステップ 3.6.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を ${(x^{2} + 1)}^{6}$ で因数分解します。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 48 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.6.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 48 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.6.4.1.2.3

式を書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{(- 48 x (x + 1)) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = \frac{((48) x (x + 1)) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.6.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = 1 (\frac{48 x (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 3.6.4.4

$\frac{48 x (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{48 x (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{48 x (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [\frac{(x (x + 1)) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}]$ です。

$f^{4} (x) = 48 \frac{d}{d x} (\frac{(x (x + 1)) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

ステップ 4.2

$f (x) = x (x + 1) (x - 1)$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x + 1) (x - 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{({(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}})$

ステップ 4.3

${({(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x + 1) (x - 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{4 \cdot 2}})$

ステップ 4.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x + 1) (x - 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.4

$f (x) = x (x + 1)$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.5.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.5.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.6

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x \frac{d}{d x} (x + 1) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x (1 + \frac{d}{d x} (1)) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.7.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.7.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.7.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.7.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x + (x + 1) \cdot 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.7.6

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.6.1

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x + x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.7.6.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.8

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.8.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.8.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.9

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.9.2

${(x^{2} + 1)}^{3}$ を ${(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.1

${(x^{2} + 1)}^{3}$ を ${(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) - 4 x (x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.9.2.2

${(x^{2} + 1)}^{3}$ を $- 4 x (x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) + {(x^{2} + 1)}^{3} (- 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.9.2.3

${(x^{2} + 1)}^{3}$ を ${(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) + {(x^{2} + 1)}^{3} (- 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

ステップ 4.10

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

${(x^{2} + 1)}^{3}$ を ${(x^{2} + 1)}^{8}$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.10.2

共通因数を約分します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.10.3

式を書き換えます。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.11

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.14

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.14.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.14.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x (x + 1) (x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.15

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 (x \cdot x) (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.16

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 (x \cdot x) (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x^{1 + 1} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

ステップ 4.19

$48$ と $\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.1

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.2

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1)) + (- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.3

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1))) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1))) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + (x - 1) (2 x + 1))) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (2 x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x + 1) - 1 (2 x + 1))) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x + 1))) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.1.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.4.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.1.4.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.4.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.4.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.4.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 2 x - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.4.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 2 x - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.1.4.2

$x$ から $2 x$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} - x - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.2

$x^{2} + x + 2 x^{2} - x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 2 x^{2} + 0 - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.2.2

$x^{2} + 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 2 x^{2} - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.3

$x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (x^{2} (3 x^{2} - 1) + 1 (3 x^{2} - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.4.2

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2} - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.4.3

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.5.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.5.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.5.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.5.1.3

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} - 1 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.5.1.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} - x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.5.1.5

$3 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} - x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.5.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} - x^{2} + 3 x^{2} - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.5.2

$- x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} + 2 x^{2} - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.6

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4}) + 48 (2 x^{2}) + 48 \cdot - 1 + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.7.1

$3$ に $48$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 48 (2 x^{2}) + 48 \cdot - 1 + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.7.2

$2$ に $48$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} + 48 \cdot - 1 + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.7.3

$48$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.8.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.8.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 x^{1 + 2} - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.8.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.8.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 x^{3} - 8 x^{2}) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.9

分配法則（FOIL法）を使って $(- 8 x^{3} - 8 x^{2}) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.9.1

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{3} (x - 1) - 8 x^{2} (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.9.2

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{3} x - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.9.3

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{3} x - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.10.1.1

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.10.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 (x \cdot x^{3}) - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.1.1.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.10.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 (x \cdot x^{3}) - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{1 + 3} - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.1.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.1.2

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.10.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.4.1.10.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{1 + 2} - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.1.4

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{3} + 8 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.2

$8 x^{3}$ から $8 x^{3}$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 0 + 8 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.10.3

$- 8 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.11

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4}) + 48 (8 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.12

$- 8$ に $48$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 - 384 x^{4} + 48 (8 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.1.13

$8$ に $48$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 - 384 x^{4} + 384 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.2

$144 x^{4}$ から $384 x^{4}$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{- 240 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 384 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.4.3

$96 x^{2}$ と $384 x^{2}$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{- 240 x^{4} + 480 x^{2} - 48}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.5

$48$ を $- 240 x^{4} + 480 x^{2} - 48$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.20.5.1

$48$ を $- 240 x^{4}$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 5 x^{4}) + 480 x^{2} - 48}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.5.2

$48$ を $480 x^{2}$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 5 x^{4}) + 48 (10 x^{2}) - 48}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.5.3

$48$ を $- 48$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 5 x^{4}) + 48 (10 x^{2}) + 48 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.5.4

$48$ を $48 (- 5 x^{4}) + 48 (10 x^{2})$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 5 x^{4} + 10 x^{2}) + 48 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.5.5

$48$ を $48 (- 5 x^{4} + 10 x^{2}) + 48 (- 1)$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 5 x^{4} + 10 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.6

$- 1$ を $- 5 x^{4}$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- (5 x^{4}) + 10 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.7

$- 1$ を $10 x^{2}$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- (5 x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.8

$- 1$ を $- (5 x^{4}) - (- 10 x^{2})$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- (5 x^{4} - 10 x^{2}) - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.9

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- (5 x^{4} - 10 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.10

$- 1$ を $- (5 x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.11

$- (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1)$ を $- 1 (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 1 (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 4.20.12

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{48 (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- \frac{48 (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ です。

$- \frac{48 (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例