微分積分例

$x^{2} \arctan (x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$x^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

ステップ 4

$\arctan (x) (2 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x))}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2.1.3.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 6.2.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x^{1}))}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{2 + 1})}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{3})}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2.2

$x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

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