微分積分例

$x e^{x y}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$y$ に $1$ をかけます。

$x (e^{x y} y) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

ステップ 3.5

$e^{x y}$ に $1$ をかけます。

$x (e^{x y} y) + e^{x y}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$e^{x y} x y + e^{x y}$

ステップ 4.2

$e^{x y} x y + e^{x y}$ の因数を並べ替えます。

$x y e^{x y} + e^{x y}$

微分積分 例

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