微分積分例

${(\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)})}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ で置き換えます。

$2 \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

ステップ 2

$2$ と $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 1 + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $1 + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 7

掛け算します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 7.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 8

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ に $\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{(1 + \cos (x)) {(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 13

指数を足して $1 + \cos (x)$ に ${(1 + \cos (x))}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 13.1

$1 + \cos (x)$ に ${(1 + \cos (x))}^{2}$ をかけます。

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ステップ 13.1.1

$1 + \cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{1} {(1 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 13.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{1 + 2}}$

ステップ 13.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x) (1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x) (1 \cos (x)) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14.3

各項を簡約します。

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ステップ 14.3.1

$2 \sin (x)$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1 \cdot (2 \sin (x)) \cos (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14.3.2

$1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14.3.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{\sin (2 x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14.3.4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14.3.5

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 14.3.5.1

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14.3.5.2

$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

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ステップ 14.3.5.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14.3.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 {\sin (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14.3.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

ステップ 14.4

項を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) \sin (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

微分積分 例

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