微分積分例

$y = (9 \sqrt{x} + 8) x^{2}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

ステップ 3.2

$2$ を $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ の左に移動させます。

$2 \cdot (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

ステップ 3.3

総和則では、 $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.4

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 8.3

$9$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 8.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 9

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

ステップ 10

分数をまとめます。

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ステップ 10.1

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2

$x^{2}$ と $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{x^{2} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.3

式を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$9$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.3.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 11

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 11.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

ステップ 11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

ステップ 11.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 11.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

ステップ 11.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

ステップ 11.6

分子を簡約します。

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ステップ 11.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

ステップ 11.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 12

公分母を利用して $2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x$ と $\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ を組み合わせます。

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ステップ 12.1

$9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ を移動させます。

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 12.2

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 12.3

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot 2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 12.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot 2 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 13

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x (9 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.2

分子を簡約します。

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ステップ 14.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 14.2.1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 14.2.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.1.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.1.3

$4$ に $9$ をかけます。

$\frac{36 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.1.4

$8$ に $4$ をかけます。

$\frac{36 x^{\frac{3}{2}} + 32 x + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.2

$36 x^{\frac{3}{2}}$ と $9 x^{\frac{3}{2}}$ をたし算します。

$\frac{32 x + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.3

$x$ を $32 x + 45 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 14.3.1

$x$ を $32 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 32 + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 14.3.2

$x$ を $45 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 32 + x (45 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 14.3.3

$x$ を $x \cdot 32 + x (45 x^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{x (32 + 45 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

微分積分 例

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