微分積分例

$\sqrt{8 x}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ を $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$8 x$ を $2^{2} \cdot (2 x)$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

ステップ 1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

ステップ 1.1.3

括弧を付けます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 5

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 8

$2^{\frac{3}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 12

公分母の分子をまとめます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 13

分子を簡約します。

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ステップ 13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 14

分数の前に負数を移動させます。

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 15

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16

$2^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $2^{1}$ を分子に移動させます。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18

指数を足して $2^{\frac{3}{2}}$ に $2^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 18.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5

分子を簡約します。

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ステップ 18.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例