微分積分例

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x^{2})$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\frac{1}{x} (2 x) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2}{x} x - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.4.2

$\frac{2}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.4.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.4.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 - \ln (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$

微分積分 例

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