微分積分例

$\frac{2 x - 1}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = 2 x - 1$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.7.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x^{2} - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{2} - (2 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + (- 2 (2 x) - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

ステップ 3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

ステップ 3.3.1.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{x^{4}}$

ステップ 3.3.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 3.3.2

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 3.4

$2 x$ を $- 2 x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$2 x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 3.4.2

$2 x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{x^{4}}$

ステップ 3.4.3

$2 x$ を $2 x (- x) + 2 x (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x + 1)}{x^{4}}$

ステップ 3.5

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$x$ を $2 x (- x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x^{4}}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}}$

ステップ 3.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x) + 1)}{x^{3}}$

ステップ 3.7

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{x^{3}}$

ステップ 3.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x - 1))}{x^{3}}$

ステップ 3.9

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{x^{3}}$

ステップ 3.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (x - 1)}{x^{3}}$

微分積分 例

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