微分積分例

$\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$

ステップ 1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$

ステップ 2

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = a t - b t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 3

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $a t - b t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}]$ です。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2

$a$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $a t$ の微分係数は $a \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.4

$a$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5

$- b$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- b t^{2}$ の微分係数は $- b \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b (2 t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.7.2

$3$ と $\frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 ((a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) a - \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (a t \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1.1.1

$t$ を $a t$ で因数分解します。

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.1.3

式を書き換えます。

$\frac{3 a + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.2

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1.2.1

$t$ を $- b t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 a + 3 (- b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 a - 3 (b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.4

$3 (- \ln (t) a)$ を掛けます。

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ステップ 5.4.1.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 a - 3 b t - 3 (\ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.4.2

$\ln (t)$ と $- 3$ を並べ替えます。

$\frac{3 a - 3 b t - 3 \cdot \ln (t) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.4.3

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \cdot \ln (t)$ を簡約します。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.5

$- \ln (t) (- 2 b t)$ を掛けます。

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ステップ 5.4.1.5.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (2 \ln (t) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.5.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (t)$ を簡約します。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (\ln (t^{2}) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.6

$3 (\ln (t^{2}) (b t))$ を掛けます。

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ステップ 5.4.1.6.1

$\ln (t^{2})$ と $3$ を並べ替えます。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 \cdot \ln (t^{2}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.6.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \cdot \ln (t^{2})$ を簡約します。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln ({(t^{2})}^{3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.7

${(t^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.4.1.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{2 \cdot 3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.1.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.2

$3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

ステップ 5.5

項を並べ替えます。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - t^{2} b)}^{2}}$

ステップ 5.6

分母を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$t$ を $a t - t^{2} b$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1.1

$t$ を $a t$ で因数分解します。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a - t^{2} b)}^{2}}$

ステップ 5.6.1.2

$t$ を $- t^{2} b$ で因数分解します。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a + t (- t b))}^{2}}$

ステップ 5.6.1.3

$t$ を $t a + t (- t b)$ で因数分解します。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t (a - t b))}^{2}}$

ステップ 5.6.2

積の法則を $t (a - t b)$ に当てはめます。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{t^{2} {(a - t b)}^{2}}$

微分積分 例

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