微分積分例

$f (t) = {(\frac{1}{t - 3})}^{2}$

ステップ 1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \frac{1}{t - 3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1}{t - 3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1}{t - 3}$ で置き換えます。

$2 \frac{1}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

ステップ 2

分数をまとめます。

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ステップ 2.1

$2$ と $\frac{1}{t - 3}$ をまとめます。

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{t - 3}$ を ${(t - 3)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{- 1}]$

ステップ 3

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t - 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $t - 3$ とします。

$\frac{2}{t - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t - 3])$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{t - 3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $t - 3$ で置き換えます。

$\frac{2}{t - 3} (- {(t - 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{t - 3}$ と ${(t - 3)}^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{2 {(t - 3)}^{- 2}}{t - 3} \frac{d}{d t} [t - 3]$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(t - 3)}^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{2}{(t - 3) {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

ステップ 5

指数を足して $t - 3$ に ${(t - 3)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$t - 3$ に ${(t - 3)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.1.1

$t - 3$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1} {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

ステップ 5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1 + 2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

ステップ 5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

ステップ 6

総和則では、 $t - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])$

ステップ 8

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + 0)$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \cdot 1$

ステップ 9.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}}$

微分積分 例

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