微分積分例

$\ln (\sec (x))$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

任意の $y = \sec (x)$ について、垂直漸近線が $x = \frac{π}{2} + n π$ で発生します。ここで $n$ は整数です。 $y = s e c (x)$ の基本周期 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ を使って、 $y = \ln (\sec (x))$ の垂直漸近線を求めます。 $y = a \sec (b x + c) + d$ の正割関数の内側 $b x + c$ を $- \frac{π}{2}$ と等しくし、 $y = \ln (\sec (x))$ の垂直漸近線が発生する場所を求めます。

$\sec (x) = - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (- \frac{π}{2})$

ステップ 1.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$arcsec (- \frac{π}{2})$ の値を求めます。

$x = 2.26090341$

ステップ 1.2.3

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

ステップ 1.2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

ステップ 1.2.4.2

$2 (3.14159265) - 2.26090341$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 2.26090341$

ステップ 1.2.4.2.2

$6.2831853$ から $2.26090341$ を引きます。

$x = 4.02228188$

ステップ 1.2.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

正割関数 $\sec (x)$ の中を $\frac{3 π}{2}$ と等しくします。

$\sec (x) = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.4.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (\frac{3 π}{2})$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$arcsec (\frac{3 π}{2})$ の値を求めます。

$x = 1.3569639$

ステップ 1.4.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

ステップ 1.4.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.4.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

ステップ 1.4.4.2

$2 (3.14159265) - 1.3569639$ を簡約します。

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ステップ 1.4.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 1.3569639$

ステップ 1.4.4.2.2

$6.2831853$ から $1.3569639$ を引きます。

$x = 4.9262214$

ステップ 1.4.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.4.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.4.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.4.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.4.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.4.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.5

$y = \ln (\sec (x))$ の基本周期は $(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$ で発生し、ここで $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ と $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ は垂直漸近線です。

$(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$

ステップ 1.6

周期 $\frac{2 π}{| b |}$ を求め、垂直漸近線が存在する場所を求めます。垂直漸近線は半周期ごとに発生します。

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ステップ 1.6.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.6.2

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.7

$y = \ln (\sec (x))$ の垂直漸近線は $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ 、 $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ 、およびすべての $π n$ で発生し、ここで $n$ は整数です。これは期間の半分です。

$π n$

ステップ 1.8

正割関数と余割関数の垂直漸近線のみがあります。

垂直漸近線：任意の整数 $n$ について $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線：任意の整数 $n$ について $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \ln (\sec (1))$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sec (1)$ の値を求めます。

$f (1) = \ln (1.85081571)$

ステップ 2.2.2

最終的な答えは $\ln (1.85081571)$ です。

$\ln (1.85081571)$

ステップ 3

$x = 5$ で点を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = \ln (\sec (5))$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\sec (5)$ の値を求めます。

$f (5) = \ln (3.52532008)$

ステップ 3.2.2

最終的な答えは $\ln (3.52532008)$ です。

$\ln (3.52532008)$

ステップ 4

$x = 6$ で点を求めます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = \ln (\sec (6))$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\sec (6)$ の値を求めます。

$f (6) = \ln (1.04148192)$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $\ln (1.04148192)$ です。

$\ln (1.04148192)$

ステップ 5

対数関数は、 $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ における垂直漸近線と点 $(1, 0.61562647), (5, 1.25997123), (6, 0.04064462)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.616 \\ 5 & 1.26 \\ 6 & 0.041 \end{array}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例