微分積分例

$y = \sqrt{x}$ , $(1, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.8

簡約します。

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ステップ 1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.9

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.10

簡約します。

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ステップ 1.10.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.10.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{2}$ と与えられた点 $(1, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y - 1 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - 1 = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 1 = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 1$

ステップ 2.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

ステップ 2.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 2}{2}$

ステップ 2.3.2.4

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例