微分積分例

$y = \frac{4 x}{x - 5}$ , $(7, 14)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 7$ と $y = 14$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{x - 5}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(x - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x - 5$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{x - 5 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$4 \frac{x - 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{x - 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{x - 5 - x (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

項を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{x - 5 - x \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{x - 5 - x}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$4 \frac{0 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.4.1

$0$ から $5$ を引きます。

$4 \frac{- 5}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$4 (- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}})$

ステップ 1.3.6.4.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.5

$- 4$ と $\frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 5}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.6

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.6.1

$- 4$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 20}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = 7$ で微分係数を求めます。

$- \frac{20}{{((7) - 5)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$7$ から $5$ を引きます。

$- \frac{20}{2^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{20}{4}$

ステップ 1.5.2

式を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$20$ を $4$ で割ります。

$- 1 \cdot 5$

ステップ 1.5.2.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 5$ と与えられた点 $(7, 14)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (14) = - 5 \cdot (x - (7))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 14 = - 5 \cdot (x - 7)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 5 \cdot (x - 7)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 14 = 0 + 0 - 5 \cdot (x - 7)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 14 = - 5 \cdot (x - 7)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 14 = - 5 x - 5 \cdot - 7$

ステップ 2.3.1.4

$- 5$ に $- 7$ をかけます。

$y - 14 = - 5 x + 35$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $14$ を足します。

$y = - 5 x + 35 + 14$

ステップ 2.3.2.2

$35$ と $14$ をたし算します。

$y = - 5 x + 49$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例