微分積分例

$y = \frac{7 x}{x + 4}$ , $(3, 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7 x}{x + 4}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$7 \frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \frac{(x + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x + 4$ に $1$ をかけます。

$7 \frac{x + 4 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$7 \frac{x + 4 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \frac{x + 4 - x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$7 \frac{x + 4 - x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

項を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$7 \frac{x + 4 - x \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 \frac{x + 4 - x}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$7 \frac{0 + 4}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.4

$0$ と $4$ をたし算します。

$7 \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.5

$7$ と $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{7 \cdot 4}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.6

$7$ に $4$ をかけます。

$\frac{28}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = 3$ で微分係数を求めます。

$\frac{28}{{((3) + 4)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$3$ と $4$ をたし算します。

$\frac{28}{7^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{28}{49}$

ステップ 1.5.2

$28$ と $49$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$7$ を $28$ で因数分解します。

$\frac{7 (4)}{49}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$7$ を $49$ で因数分解します。

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

ステップ 1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

ステップ 1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{7}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{4}{7}$ と与えられた点 $(3, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = \frac{4}{7} \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{4}{7} \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 = \frac{4}{7} x + \frac{4}{7} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{4}{7}$ と $x$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4}{7} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{4}{7} \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$\frac{4}{7}$ と $- 3$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4 \cdot - 3}{7}$

ステップ 2.3.1.5.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12}{7}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 3 = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3$

ステップ 2.3.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3 \cdot \frac{7}{7}$

ステップ 2.3.2.3

$3$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + \frac{3 \cdot 7}{7}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 3 \cdot 7}{7}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$3$ に $7$ をかけます。

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 21}{7}$

ステップ 2.3.2.5.2

$- 12$ と $21$ をたし算します。

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{9}{7}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{4}{7} x + \frac{9}{7}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例