微分積分例

$2 x^{2} + y^{2} = 57$ , $(- 4, 5)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 4$ と $y = 5$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (57)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 1.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 x + 2 y y'$

ステップ 1.2.4

項を並べ替えます。

$2 y y' + 4 x$

ステップ 1.3

$57$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $57$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 4 x = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$2 y y' = - 4 x$

ステップ 1.5.2

$2 y y' = - 4 x$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$2 y y' = - 4 x$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

ステップ 1.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

ステップ 1.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.3.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.1.1

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

ステップ 1.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.1.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

ステップ 1.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

ステップ 1.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

ステップ 1.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x}{y}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

ステップ 1.7

$y = 5$ と $x = - 4$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$- \frac{2 (- 4)}{y}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $5$ で置換えます。

$- \frac{2 (- 4)}{5}$

ステップ 1.7.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- \frac{- 8}{5}$

ステップ 1.7.4

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{8}{5}$

ステップ 1.7.5

$- - \frac{8}{5}$ を掛けます。

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ステップ 1.7.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{8}{5})$

ステップ 1.7.5.2

$\frac{8}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{5}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{8}{5}$ と与えられた点 $(- 4, 5)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (5) = \frac{8}{5} \cdot (x - (- 4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 5 = \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{8}{5} \cdot (x + 4)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 5 = \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 5 = \frac{8}{5} x + \frac{8}{5} \cdot 4$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{8}{5}$ と $x$ をまとめます。

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{8}{5} \cdot 4$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{8}{5} \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$\frac{8}{5}$ と $4$ をまとめます。

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{8 \cdot 4}{5}$

ステップ 2.3.1.5.2

$8$ に $4$ をかけます。

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + 5$

ステップ 2.3.2.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 2.3.2.3

$5$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

ステップ 2.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32 + 5 \cdot 5}{5}$

ステップ 2.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.1

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32 + 25}{5}$

ステップ 2.3.2.5.2

$32$ と $25$ をたし算します。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{57}{5}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{8}{5} x + \frac{57}{5}$

ステップ 3

微分積分 例

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