微分積分例

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = - x^{2} + 1$ ならば $V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

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ステップ 2.1

${(- x^{2} + 1)}^{2}$ を $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.4

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.6

$- x^{2}$ に $1$ をかけます。

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.7

$1$ に $1$ をかけます。

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

ステップ 2.3.2

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

ステップ 5

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

ステップ 6

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

ステップ 8

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ と $x]_{- 1}^{1}$ をまとめます。

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

ステップ 10.2

代入し簡約します。

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ステップ 10.2.1

$1$ および $- 1$ で $\frac{x^{5}}{5} + x$ の値を求めます。

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

ステップ 10.2.2

$1$ および $- 1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3

簡約します。

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ステップ 10.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.4

$1$ と $5$ をたし算します。

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.5

$- 1$ を $5$ 乗します。

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.8

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.3.10.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.10.2

$- 1$ から $5$ を引きます。

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.12

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.13

$\frac{6}{5}$ に $1$ をかけます。

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.14

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.15

$6$ と $6$ をたし算します。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.16

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

ステップ 10.2.3.17

$- 1$ を $3$ 乗します。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

ステップ 10.2.3.18

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

ステップ 10.2.3.19

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

ステップ 10.2.3.20

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

ステップ 10.2.3.21

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

ステップ 10.2.3.22

$1$ と $1$ をたし算します。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

ステップ 10.2.3.23

$- 2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

ステップ 10.2.3.24

$- 2$ に $2$ をかけます。

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

ステップ 10.2.3.25

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

ステップ 10.2.3.26

$\frac{12}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

ステップ 10.2.3.27

$- \frac{4}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 10.2.3.28

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.28.1

$\frac{12}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 10.2.3.28.2

$5$ に $3$ をかけます。

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

ステップ 10.2.3.28.3

$\frac{4}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

ステップ 10.2.3.28.4

$3$ に $5$ をかけます。

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

ステップ 10.2.3.29

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

ステップ 10.2.3.30

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.30.1

$12$ に $3$ をかけます。

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

ステップ 10.2.3.30.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

ステップ 10.2.3.30.3

$36$ から $20$ を引きます。

$V = π (\frac{16}{15})$

ステップ 10.2.3.31

$π$ と $\frac{16}{15}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

ステップ 10.2.3.32

$16$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{16 π}{15}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{16 π}{15}$

10進法形式：

$V = 3.35103216 \dots$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例