微分積分例

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.2

$x$ について $x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

両指数に最小公分母をかけて分数指数を消去します。

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

ステップ 1.2.2

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

ステップ 1.2.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

ステップ 1.2.2.2.2

式を書き換えます。

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

ステップ 1.2.3

${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

積の法則を $3 x^{\frac{1}{4}}$ に当てはめます。

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

ステップ 1.2.3.2

$3$ を $4$ 乗します。

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

ステップ 1.2.3.3

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

ステップ 1.2.3.3.2.2

式を書き換えます。

$x^{5} = 81 x^{1}$

ステップ 1.2.3.4

簡約します。

$x^{5} = 81 x$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺から $81 x$ を引きます。

$x^{5} - 81 x = 0$

ステップ 1.2.5

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.5.1

$x$ を $x^{5} - 81 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.5.1.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

ステップ 1.2.5.1.2

$x$ を $- 81 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

ステップ 1.2.5.1.3

$x$ を $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ で因数分解します。

$x (x^{4} - 81) = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

ステップ 1.2.5.3

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

ステップ 1.2.5.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 9$ です。

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

ステップ 1.2.5.5

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.5.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

ステップ 1.2.5.5.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.5.1.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

ステップ 1.2.5.5.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 1.2.5.5.2

不要な括弧を削除します。

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 1.2.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.2.7

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.8

$x^{2} + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.8.1

$x^{2} + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 9 = 0$

ステップ 1.2.8.2

$x$ について $x^{2} + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.8.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} = - 9$

ステップ 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

ステップ 1.2.8.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.8.2.3.1

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

ステップ 1.2.8.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

ステップ 1.2.8.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

ステップ 1.2.8.2.3.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

ステップ 1.2.8.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 3$

ステップ 1.2.8.2.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i$

ステップ 1.2.8.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.8.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i$

ステップ 1.2.8.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i$

ステップ 1.2.8.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i, - 3 i$

ステップ 1.2.9

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.9.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 1.2.10

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 1.2.10.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 1.2.11

最終解は $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

ステップ 1.3

$x = 0$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.3.2

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ の $0$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

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ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.3.2.2

$3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.3.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.3.2.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.3.2.2.2.2

式を書き換えます。

$y = 3 \cdot 0^{1}$

ステップ 1.3.2.2.3

指数を求めます。

$y = 3 \cdot 0$

ステップ 1.3.2.2.4

$3$ に $0$ をかけます。

$y = 0$

ステップ 1.4

$x = 3 i$ のとき、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$3 i$ を $x$ に代入します。

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.4.2

$3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

積の法則を $3 i$ に当てはめます。

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

ステップ 1.4.2.2

指数を足して $3$ に $3^{\frac{1}{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$3^{\frac{1}{4}}$ を移動させます。

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.4.2.2.2

$3^{\frac{1}{4}}$ に $3$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$3$ を $1$ 乗します。

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.4.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.4.2.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.4.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.4.2.2.5

$1$ と $4$ をたし算します。

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.5

$x = - 3 i$ のとき、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 3 i$ を $x$ に代入します。

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.5.2

積の法則を $- 3 i$ に当てはめます。

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.6

$- 3$ を $x$ に代入します。

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.7

$x = 3$ のとき、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$3$ を $x$ に代入します。

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.7.2

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ の $3$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.2.1

括弧を削除します。

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.7.2.2

指数を足して $3$ に $3^{\frac{1}{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.2.2.1

$3$ に $3^{\frac{1}{4}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.2.2.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.7.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

ステップ 1.7.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

ステップ 1.7.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

ステップ 1.7.2.2.4

$4$ と $1$ をたし算します。

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

ステップ 1.8

すべての解をまとめます。

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

ステップ 2

与えられた曲線間の面積は非有界です。

有界でない面積

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例