微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{3}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\tan (x) - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.5

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{3 x^{2}}$

ステップ 2

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.4

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$- 1$ と $\sec^{2} (0)$ を並べ替えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0) - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 3.1.2.3.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 3.1.2.3.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 3.1.2.3.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

ステップ 3.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $- 1 + \sec^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.4.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.4.1.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.4.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.4.3

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.4.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$0$ と $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ をたし算します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5.5

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5.6

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5.7

まとめる。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5.8

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.3.5.8.1

$\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.8.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5.8.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 x}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1}{2 x}$

ステップ 3.5

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ に $\frac{1}{2 x}$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

ステップ 3.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

ステップ 4.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

ステップ 4.1.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $\cos^{3} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.3.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.3.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.3.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot 0}$

ステップ 4.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{3} \cdot 0}$

ステップ 4.1.3.5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0}$

ステップ 4.1.3.5.3

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.3.5.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

ステップ 4.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

ステップ 4.3.3

$f (x) = \cos^{3} (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

ステップ 4.3.5

$\cos^{3} (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

ステップ 4.3.6

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

ステップ 4.3.6.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

ステップ 4.3.6.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

ステップ 4.3.7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}$

ステップ 4.3.8

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

ステップ 4.3.9

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

ステップ 5.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

ステップ 5.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

ステップ 5.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

ステップ 5.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

ステップ 5.6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

ステップ 5.7

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

ステップ 5.8

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

ステップ 5.9

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $\cos^{3} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}$

ステップ 5.10

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 6.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 6.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 6.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

ステップ 7.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

ステップ 7.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

ステップ 7.2.4

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

ステップ 7.2.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos^{3} (0)}$

ステップ 7.2.6

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (0)}$

ステップ 7.2.7

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1^{3}}$

ステップ 7.2.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

ステップ 7.2.9

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 7.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 7.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 7.4

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例