微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (5 x)}$

ステップ 1

分子と分母に $5 x$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot (5 x)}{\sin (5 x) \cdot (5 x)}$

ステップ 2

分子と分母に $2 x$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot (5 x) \cdot (2 x)}{2 x \cdot \sin (5 x) \cdot (5 x)}$

ステップ 3

分数を分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5

$x$ が $0$ に近づく $\frac{\sin (2 x)}{2 x}$ の極限値は $1$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 \cdot 0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.3.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.3.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.3.9

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.4.1.2

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.4.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.4.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos (2 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 5.6.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6

$x$ が $0$ に近づく $\frac{5 x}{\sin (5 x)}$ の極限値は $1$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$1 \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$1 \cdot \frac{5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.2.3

$5$ に $0$ をかけます。

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.3.1.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (5 \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.3.1

$5$ に $0$ をかけます。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

ステップ 6.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

分母と分子を微分します。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.3.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.3.4

$5$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.3.5

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.3.5.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.3.5.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.3.6

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.3.8

$5$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5}{\cos (5 x) \cdot 5} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.3.9

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5}{5 \cos (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{5}{5 \cos (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.4.2

式を書き換えます。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (5 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.5

$\frac{1}{\cos (5 x)}$ を $\sec (5 x)$ に変換します。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.6.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$1 \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.7

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$1 \cdot \sec (5 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$5$ に $0$ をかけます。

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 6.8.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 7

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{5 x}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2}{5}$

ステップ 8

$x$ が $0$ に近づくと定数である $\frac{2}{5}$ の極限値を求めます。

$1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5}$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot \frac{2}{5}$

ステップ 9.2

$\frac{2}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{5}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{5}$

10進法形式：

$0.4$

微分積分 例

微分積分例