微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} - 1}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{2^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

$2^{x} \ln (2)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2)}{1}$

ステップ 1.4

$2^{x} \ln (2)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} 2^{x} \ln (2)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\ln (2)$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\ln (2) lim_{x \to 0} 2^{x}$

ステップ 2.2

指数に極限を移動させます。

$\ln (2) \cdot 2^{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (2) \cdot 2^{0}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\ln (2) \cdot 1$

ステップ 4.2

$\ln (2)$ に $1$ をかけます。

$\ln (2)$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (2)$

10進法形式：

$0.69314718 \dots$

微分積分 例

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