微分積分例

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 27}{x^{2} - 9}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 27}{x^{2} - 9}$

ステップ 1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 27}{x^{2} - 9}$

ステップ 1.3

$x$ が $3$ に近づくと定数である $27$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 27}{x^{2} - 9}$

ステップ 2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 27}{x^{2} - 9}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{x^{2} - 9}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ に $27$ をかけます。

$\frac{27 - 27}{x^{2} - 9}$

ステップ 3.1.3

$27$ から $27$ を引きます。

$\frac{0}{x^{2} - 9}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{x^{2} - 3^{2}}$

ステップ 3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{0}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 3.3

$0$ を $(x + 3) (x - 3)$ で割ります。

$0$

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