微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x^{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

${(x + 0)}^{2} - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x (x + h) + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + h x + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$x^{2}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d h} [2 h x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$2 x$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $2 h x$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.9

$- x^{2}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1.1

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10.1.2

$2 x + 2 h$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.10.2

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{1}$

ステップ 1.4

$2 h + 2 x$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} 2 h + 2 x$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 2 x$

ステップ 2.2

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x$

ステップ 2.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$2 lim_{h \to 0} h + 2 x$

ステップ 3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 0 + 2 x$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + 2 x$

ステップ 4.2

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

微分積分 例

微分積分例