微分積分例

$| x |$

ステップ 1

$| x |$ を関数で書きます。

$f (x) = | x |$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int | x | d x$

ステップ 4

絶対値の独立変数を $0$ に等しいとし、解を分割する可能性のある値を求めます。

$x = 0$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

解の周りに区間を作り、 $x$ が正と負になる場所を求めます。

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

ステップ 5.2

各区間から値を $x$ に代入し、式が正または負になる場所を見つけます。

$\begin{array}{c} 区間 & 区間上の符号 \\ (- \infty, 0) & - \\ (0, \infty) & + \end{array}$

ステップ 5.3

絶対値の独立変数を積分します。

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ステップ 5.3.1

絶対値の独立変数で積分を設定します。

$\int x d x$

ステップ 5.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 5.4

独立変数が負になる区間上で積分の解に $- 1$ を掛けます。

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

ステップ 5.5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

ステップ 5.6

簡約します。

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} & x \leq 0 \\ \frac{x^{2}}{2} & x > 0 \end{cases} + C$

ステップ 5.7

簡約します。

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$

ステップ 6

答えは関数 $f (x) = | x |$ の不定積分です。

$F (x) =$ ${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$

微分積分 例