微分積分 例

極大値と極小値を求める f(x)=(x^2-1)^3
ステップ 1
関数の一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 1.1.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.2
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2.3
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.2.4
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.4.1
をたし算します。
ステップ 1.2.4.2
をかけます。
ステップ 1.2.4.3
の因数を並べ替えます。
ステップ 2
関数の二次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2
およびのとき、であるという積の法則を使って微分します。
ステップ 2.3
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 2.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.3.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 2.4
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 2.4.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.4.3
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 2.4.4
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.4.1
をたし算します。
ステップ 2.4.4.2
をかけます。
ステップ 2.5
乗します。
ステップ 2.6
乗します。
ステップ 2.7
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 2.8
をたし算します。
ステップ 2.9
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.10
をかけます。
ステップ 2.11
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.11.1
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.2
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.3
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.4
項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.11.4.1
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.11.4.1.1
を移動させます。
ステップ 2.11.4.1.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 2.11.4.1.3
をたし算します。
ステップ 2.11.4.2
の左に移動させます。
ステップ 2.11.4.3
をかけます。
ステップ 2.11.4.4
をかけます。
ステップ 2.11.4.5
の左に移動させます。
ステップ 2.11.4.6
をかけます。
ステップ 2.11.5
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.11.5.1
に書き換えます。
ステップ 2.11.5.2
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.11.5.2.1
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.5.2.2
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.5.2.3
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.5.3
簡約し、同類項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.11.5.3.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.11.5.3.1.1
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.11.5.3.1.1.1
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 2.11.5.3.1.1.2
をたし算します。
ステップ 2.11.5.3.1.2
の左に移動させます。
ステップ 2.11.5.3.1.3
に書き換えます。
ステップ 2.11.5.3.1.4
に書き換えます。
ステップ 2.11.5.3.1.5
をかけます。
ステップ 2.11.5.3.2
からを引きます。
ステップ 2.11.5.4
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.5.5
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.11.5.5.1
をかけます。
ステップ 2.11.5.5.2
をかけます。
ステップ 2.11.6
をたし算します。
ステップ 2.11.7
からを引きます。
ステップ 3
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 4
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.1
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.1.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 4.1.1.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.1.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 4.1.2
微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.2.1
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 4.1.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.2.3
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 4.1.2.4
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1.2.4.1
をたし算します。
ステップ 4.1.2.4.2
をかけます。
ステップ 4.1.2.4.3
の因数を並べ替えます。
ステップ 4.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 5
一次導関数をと等しくし、次に方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 5.2
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 5.3
に等しいとします。
ステップ 5.4
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.1
に等しいとします。
ステップ 5.4.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.1
方程式の左辺を因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.1.1
に書き換えます。
ステップ 5.4.2.1.2
両項とも完全平方なので、平方の差の公式を利用して、因数分解します。このとき、であり、です。
ステップ 5.4.2.1.3
積の法則をに当てはめます。
ステップ 5.4.2.2
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 5.4.2.3
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.3.1
に等しいとします。
ステップ 5.4.2.3.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.3.2.1
に等しいとします。
ステップ 5.4.2.3.2.2
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 5.4.2.4
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.4.1
に等しいとします。
ステップ 5.4.2.4.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.4.2.4.2.1
に等しいとします。
ステップ 5.4.2.4.2.2
方程式の両辺にを足します。
ステップ 5.4.2.5
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 5.5
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 6
微分係数が未定義になる値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
ステップ 7
値を求める臨界点です。
ステップ 8
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 9
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 9.1.2
をかけます。
ステップ 9.1.3
を正数乗し、を得ます。
ステップ 9.1.4
をかけます。
ステップ 9.2
数を加えて簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.2.1
をたし算します。
ステップ 9.2.2
をたし算します。
ステップ 10
は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極小値です
ステップ 11
のときy値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.1
式の変数で置換えます。
ステップ 11.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 11.2.2
からを引きます。
ステップ 11.2.3
乗します。
ステップ 11.2.4
最終的な答えはです。
ステップ 12
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 13
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.1.1
乗します。
ステップ 13.1.2
をかけます。
ステップ 13.1.3
乗します。
ステップ 13.1.4
をかけます。
ステップ 13.2
足し算と引き算で簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.2.1
からを引きます。
ステップ 13.2.2
をたし算します。
ステップ 14
をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.1
一次導関数または未定義になる値の周囲で、を分離区間に分割します。
ステップ 14.2
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.2.1
式の変数で置換えます。
ステップ 14.2.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.2.2.1
をかけます。
ステップ 14.2.2.2
乗します。
ステップ 14.2.2.3
からを引きます。
ステップ 14.2.2.4
乗します。
ステップ 14.2.2.5
をかけます。
ステップ 14.2.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 14.3
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.3.1
式の変数で置換えます。
ステップ 14.3.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.3.2.1
をかけます。
ステップ 14.3.2.2
乗します。
ステップ 14.3.2.3
からを引きます。
ステップ 14.3.2.4
乗します。
ステップ 14.3.2.5
をかけます。
ステップ 14.3.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 14.4
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.4.1
式の変数で置換えます。
ステップ 14.4.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.4.2.1
をかけます。
ステップ 14.4.2.2
乗します。
ステップ 14.4.2.3
からを引きます。
ステップ 14.4.2.4
乗します。
ステップ 14.4.2.5
をかけます。
ステップ 14.4.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 14.5
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.5.1
式の変数で置換えます。
ステップ 14.5.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 14.5.2.1
をかけます。
ステップ 14.5.2.2
乗します。
ステップ 14.5.2.3
からを引きます。
ステップ 14.5.2.4
乗します。
ステップ 14.5.2.5
をかけます。
ステップ 14.5.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 14.6
の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。
極大値または極小値ではありません
ステップ 14.7
の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、は極小値です。
は極小値です
ステップ 14.8
の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。
極大値または極小値ではありません
ステップ 14.9
の極値です。
は極小値です
は極小値です
ステップ 15