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微分積分 例
ステップ 1
ステップ 1.1
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 1.1.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 1.1.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.2
微分します。
ステップ 1.2.1
総和則では、のに関する積分はです。
ステップ 1.2.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.2.3
はについて定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 1.2.4
式を簡約します。
ステップ 1.2.4.1
とをたし算します。
ステップ 1.2.4.2
にをかけます。
ステップ 1.2.4.3
の因数を並べ替えます。
ステップ 2
ステップ 2.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2
およびのとき、はであるという積の法則を使って微分します。
ステップ 2.3
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 2.3.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 2.3.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.3.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 2.4
微分します。
ステップ 2.4.1
総和則では、のに関する積分はです。
ステップ 2.4.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.4.3
はについて定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 2.4.4
式を簡約します。
ステップ 2.4.4.1
とをたし算します。
ステップ 2.4.4.2
にをかけます。
ステップ 2.5
を乗します。
ステップ 2.6
を乗します。
ステップ 2.7
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 2.8
とをたし算します。
ステップ 2.9
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.10
にをかけます。
ステップ 2.11
簡約します。
ステップ 2.11.1
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.2
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.3
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.4
項をまとめます。
ステップ 2.11.4.1
指数を足してにを掛けます。
ステップ 2.11.4.1.1
を移動させます。
ステップ 2.11.4.1.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 2.11.4.1.3
とをたし算します。
ステップ 2.11.4.2
をの左に移動させます。
ステップ 2.11.4.3
にをかけます。
ステップ 2.11.4.4
にをかけます。
ステップ 2.11.4.5
をの左に移動させます。
ステップ 2.11.4.6
にをかけます。
ステップ 2.11.5
各項を簡約します。
ステップ 2.11.5.1
をに書き換えます。
ステップ 2.11.5.2
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
ステップ 2.11.5.2.1
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.5.2.2
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.5.2.3
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.5.3
簡約し、同類項をまとめます。
ステップ 2.11.5.3.1
各項を簡約します。
ステップ 2.11.5.3.1.1
指数を足してにを掛けます。
ステップ 2.11.5.3.1.1.1
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 2.11.5.3.1.1.2
とをたし算します。
ステップ 2.11.5.3.1.2
をの左に移動させます。
ステップ 2.11.5.3.1.3
をに書き換えます。
ステップ 2.11.5.3.1.4
をに書き換えます。
ステップ 2.11.5.3.1.5
にをかけます。
ステップ 2.11.5.3.2
からを引きます。
ステップ 2.11.5.4
分配則を当てはめます。
ステップ 2.11.5.5
簡約します。
ステップ 2.11.5.5.1
にをかけます。
ステップ 2.11.5.5.2
にをかけます。
ステップ 2.11.6
とをたし算します。
ステップ 2.11.7
からを引きます。
ステップ 3
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 4
ステップ 4.1
一次導関数を求めます。
ステップ 4.1.1
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 4.1.1.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 4.1.1.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.1.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 4.1.2
微分します。
ステップ 4.1.2.1
総和則では、のに関する積分はです。
ステップ 4.1.2.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.2.3
はについて定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 4.1.2.4
式を簡約します。
ステップ 4.1.2.4.1
とをたし算します。
ステップ 4.1.2.4.2
にをかけます。
ステップ 4.1.2.4.3
の因数を並べ替えます。
ステップ 4.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 5
ステップ 5.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 5.2
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 5.3
がに等しいとします。
ステップ 5.4
をに等しくし、を解きます。
ステップ 5.4.1
がに等しいとします。
ステップ 5.4.2
についてを解きます。
ステップ 5.4.2.1
方程式の左辺を因数分解します。
ステップ 5.4.2.1.1
をに書き換えます。
ステップ 5.4.2.1.2
両項とも完全平方なので、平方の差の公式を利用して、因数分解します。このとき、であり、です。
ステップ 5.4.2.1.3
積の法則をに当てはめます。
ステップ 5.4.2.2
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 5.4.2.3
をに等しくし、を解きます。
ステップ 5.4.2.3.1
がに等しいとします。
ステップ 5.4.2.3.2
についてを解きます。
ステップ 5.4.2.3.2.1
がに等しいとします。
ステップ 5.4.2.3.2.2
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 5.4.2.4
をに等しくし、を解きます。
ステップ 5.4.2.4.1
がに等しいとします。
ステップ 5.4.2.4.2
についてを解きます。
ステップ 5.4.2.4.2.1
がに等しいとします。
ステップ 5.4.2.4.2.2
方程式の両辺にを足します。
ステップ 5.4.2.5
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 5.5
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 6
ステップ 6.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
ステップ 7
値を求める臨界点です。
ステップ 8
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 9
ステップ 9.1
各項を簡約します。
ステップ 9.1.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 9.1.2
にをかけます。
ステップ 9.1.3
を正数乗し、を得ます。
ステップ 9.1.4
にをかけます。
ステップ 9.2
数を加えて簡約します。
ステップ 9.2.1
とをたし算します。
ステップ 9.2.2
とをたし算します。
ステップ 10
は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極小値です
ステップ 11
ステップ 11.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 11.2
結果を簡約します。
ステップ 11.2.1
を正数乗し、を得ます。
ステップ 11.2.2
からを引きます。
ステップ 11.2.3
を乗します。
ステップ 11.2.4
最終的な答えはです。
ステップ 12
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 13
ステップ 13.1
各項を簡約します。
ステップ 13.1.1
を乗します。
ステップ 13.1.2
にをかけます。
ステップ 13.1.3
を乗します。
ステップ 13.1.4
にをかけます。
ステップ 13.2
足し算と引き算で簡約します。
ステップ 13.2.1
からを引きます。
ステップ 13.2.2
とをたし算します。
ステップ 14
ステップ 14.1
一次導関数または未定義になる値の周囲で、を分離区間に分割します。
ステップ 14.2
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
ステップ 14.2.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 14.2.2
結果を簡約します。
ステップ 14.2.2.1
にをかけます。
ステップ 14.2.2.2
を乗します。
ステップ 14.2.2.3
からを引きます。
ステップ 14.2.2.4
を乗します。
ステップ 14.2.2.5
にをかけます。
ステップ 14.2.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 14.3
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
ステップ 14.3.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 14.3.2
結果を簡約します。
ステップ 14.3.2.1
にをかけます。
ステップ 14.3.2.2
を乗します。
ステップ 14.3.2.3
からを引きます。
ステップ 14.3.2.4
を乗します。
ステップ 14.3.2.5
にをかけます。
ステップ 14.3.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 14.4
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
ステップ 14.4.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 14.4.2
結果を簡約します。
ステップ 14.4.2.1
にをかけます。
ステップ 14.4.2.2
を乗します。
ステップ 14.4.2.3
からを引きます。
ステップ 14.4.2.4
を乗します。
ステップ 14.4.2.5
にをかけます。
ステップ 14.4.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 14.5
一次導関数の区間からなどの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。
ステップ 14.5.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 14.5.2
結果を簡約します。
ステップ 14.5.2.1
にをかけます。
ステップ 14.5.2.2
を乗します。
ステップ 14.5.2.3
からを引きます。
ステップ 14.5.2.4
を乗します。
ステップ 14.5.2.5
にをかけます。
ステップ 14.5.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 14.6
の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。
極大値または極小値ではありません
ステップ 14.7
の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、は極小値です。
は極小値です
ステップ 14.8
の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。
極大値または極小値ではありません
ステップ 14.9
の極値です。
は極小値です
は極小値です
ステップ 15