微分積分例

$f (x) = 2 e^{3 x - 1}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{3 x - 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x - 1}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x - 1}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$2 (e^{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$2 e^{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 e^{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 e^{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$2 e^{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 e^{3 x - 1} (3 + 0)$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$2 e^{3 x - 1} \cdot 3$

ステップ 3.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$6 e^{3 x - 1}$

微分積分 例