微分積分例

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{4} + 27$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} + 27$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} + 27$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{4} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

ステップ 1.2.3

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

ステップ 1.2.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

ステップ 1.2.4.2

$4$ と $\frac{1}{x^{4} + 27}$ をまとめます。

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

ステップ 1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{4} + 27$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.3.2

$3$ を $x^{4} + 27$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $x^{4} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.3.5

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.3.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.4

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.4.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

ステップ 2.5

$4$ と $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.1.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.3

$3$ に $27$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.4

$81$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.1.5

$- 4$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.6.4.2

$12 x^{6}$ から $16 x^{6}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{4} + 27$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} + 27$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

ステップ 4.1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} + 27$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $x^{4} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

ステップ 4.1.2.3

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

ステップ 4.1.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1.2.4.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

ステップ 4.1.2.4.2

$4$ と $\frac{1}{x^{4} + 27}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

ステップ 4.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ です。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$4 x^{3} = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

$4 x^{3} = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$4 x^{3} = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.3.1.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{0}{4}$

ステップ 5.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x^{3} = 0$

ステップ 5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.3.3

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 5.3.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 9.1.2

$- 4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 9.1.4

$324$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 9.1.5

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

ステップ 9.2.2

$0$ と $27$ をたし算します。

$\frac{0}{27^{2}}$

ステップ 9.2.3

$27$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{729}$

ステップ 9.3

$0$ を $729$ で割ります。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

ステップ 10.2.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

ステップ 10.2.2.2.2

$16$ と $27$ をたし算します。

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

ステップ 10.2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 10.2.2.3.1

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

ステップ 10.2.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

ステップ 10.2.2.4

最終的な答えは $- \frac{32}{43}$ です。

$- \frac{32}{43}$

ステップ 10.3

一次導関数 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

ステップ 10.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

ステップ 10.3.2.1.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

ステップ 10.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

ステップ 10.3.2.2.2

$16$ と $27$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

ステップ 10.3.2.3

$2$ を $5$ 乗します。

$f' (2) = \frac{32}{43}$

ステップ 10.3.2.4

最終的な答えは $\frac{32}{43}$ です。

$\frac{32}{43}$

ステップ 10.4

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例