微分積分例

$f (x) = \cos (π x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $π x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

ステップ 1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$π$ に $1$ をかけます。

$- \sin (π x) π$

ステップ 1.2.3.2

$- \sin (π x) π$ の因数を並べ替えます。

$- π \sin (π x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- π \sin (π x)$ の微分係数は $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ です。

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $π x$ とします。

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

ステップ 2.3

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4

$π$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.5

$π$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

ステップ 2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- π \sin (π x) = 0$

ステップ 4

$- π \sin (π x) = 0$ の各項を $- π$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- π \sin (π x) = 0$ の各項を $- π$ で割ります。

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

ステップ 4.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

ステップ 4.2.2.2

$\sin (π x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $- π$ で割ります。

$\sin (π x) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$π x = \arcsin (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$π x = 0$

ステップ 7

$π x = 0$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$π x = 0$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

ステップ 7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{π}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$0$ を $π$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$π x = π - 0$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$π x = π + 0$

ステップ 9.1.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$π x = π$

ステップ 9.2

$π x = π$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$π x = π$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{π}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{π}{π}$

ステップ 9.2.3.1.2

式を書き換えます。

$x = 1$

ステップ 10

方程式 $π x = 0$ に対する解です。

$x = 0, 1$

ステップ 11

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- π^{2} \cos (π (0))$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 12.1

$π$ に $0$ をかけます。

$- π^{2} \cos (0)$

ステップ 12.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- π^{2} \cdot 1$

ステップ 12.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- π^{2}$

ステップ 13

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 14

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \cos (π (0))$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$π$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \cos (0)$

ステップ 14.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = 1$

ステップ 14.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 15

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- π^{2} \cos (π (1))$

ステップ 16

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$π$ に $1$ をかけます。

$- π^{2} \cos (π)$

ステップ 16.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- π^{2} (- \cos (0))$

ステップ 16.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 16.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- π^{2} \cdot - 1$

ステップ 16.5

$- π^{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 16.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 π^{2}$

ステップ 16.5.2

$π^{2}$ に $1$ をかけます。

$π^{2}$

ステップ 17

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 18

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 18.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \cos (π (1))$

ステップ 18.2

結果を簡約します。

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ステップ 18.2.1

$π$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \cos (π)$

ステップ 18.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (1) = - \cos (0)$

ステップ 18.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (1) = - 1 \cdot 1$

ステップ 18.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = - 1$

ステップ 18.2.5

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 19

$f (x) = \cos (π x)$ の極値です。

$(0, 1)$ は極大値です

$(1, - 1)$ は極小値です

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例