微分積分例

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x + 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$1 + 2 (- \sin (x))$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 - 2 \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

ステップ 2.3

$0$ から $2 \cos (x)$ を引きます。

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$1 - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \sin (x) = - 1$

ステップ 5

$- 2 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 2 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 6

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 7

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 9

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 9.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 9.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 9.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 10

方程式 $x = \frac{π}{6}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

ステップ 11

$x = \frac{π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.2.3

式を書き換えます。

$- 1 \sqrt{3}$

ステップ 12.3

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$- \sqrt{3}$

ステップ 13

$x = \frac{π}{6}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{6}$ は極大値です

ステップ 14

$x = \frac{π}{6}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{6}) = (\frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 14.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 14.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 14.2.2

最終的な答えは $\frac{π}{6} + \sqrt{3}$ です。

$y = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

ステップ 15

$x = \frac{5 π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 16

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 16.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 16.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 16.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 16.3.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 16.3.4

式を書き換えます。

$- 1 (- \sqrt{3})$

ステップ 16.4

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \sqrt{3}$

ステップ 16.4.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{3}$

ステップ 17

$x = \frac{5 π}{6}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{5 π}{6}$ は極小値です

ステップ 18

$x = \frac{5 π}{6}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{6}) = (\frac{5 π}{6}) + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 18.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

ステップ 18.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 18.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

ステップ 18.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

ステップ 18.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 18.2.2

最終的な答えは $\frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$ です。

$y = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

ステップ 19

$f (x) = x + 2 \cos (x)$ の極値です。

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3})$ は極大値です

$(\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} - \sqrt{3})$ は極小値です

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例