微分積分例

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

ステップ 1

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{2} - 5$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

$2$ を $x - 3$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.5

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.4.1.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.4.1.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.4.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 5$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $- 6$ です。

$- 5, - 1$

ステップ 2.3.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = (x - 5) (x - 1)$ および $g (x) = {(x - 3)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.3

$f (x) = x - 5$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.4.2

$x - 5$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.5

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.7

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.8.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + x - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 5 - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.4.8.4

$- 5$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.5.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.6.2

$x - 3$ を ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$x - 3$ を ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.6.2.2

$x - 3$ を $- 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.6.2.3

$x - 3$ を $(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$x - 3$ を ${(x - 3)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.7.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.8

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.10

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.11.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (2 x - 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 6) - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.2.1.3

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.2.1.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.2.1.5

$- 3$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.2.2

$- 6 x$ から $6 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.3

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x + 10) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x + 10) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x (x - 1) + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.4.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1.5.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.1.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.5.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.5.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.5.1.3

$10$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.1.5.2

$2 x$ と $10 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.2

$2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.2.2.1

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 0 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.2.2

$- 12 x + 18$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.2.3

$- 12 x$ と $12 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{0 + 18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.2.4

$0$ と $18$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3.12.2.3

$18$ から $10$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.4.2

$2$ を $x - 3$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.5

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.4.1.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.4.1.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.4.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.1.3.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 5$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $- 6$ です。

$- 5, - 1$

ステップ 5.1.3.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ です。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$(x - 5) (x - 1) = 0$

ステップ 6.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 6.3.2

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 6.3.2.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 6.3.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.3.4

最終解は $(x - 5) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 7.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 5, 1$

ステップ 9

$x = 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{8}{{((5) - 3)}^{3}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$5$ から $3$ を引きます。

$\frac{8}{2^{3}}$

ステップ 10.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{8}{8}$

ステップ 10.2

$8$ を $8$ で割ります。

$1$

ステップ 11

$x = 5$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 5$ は極小値です

ステップ 12

$x = 5$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = \frac{{(5)}^{2} - 5}{(5) - 3}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f (5) = \frac{25 - 5}{5 - 3}$

ステップ 12.2.1.2

$25$ から $5$ を引きます。

$f (5) = \frac{20}{5 - 3}$

ステップ 12.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$5$ から $3$ を引きます。

$f (5) = \frac{20}{2}$

ステップ 12.2.2.2

$20$ を $2$ で割ります。

$f (5) = 10$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $10$ です。

$y = 10$

ステップ 13

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{8}{{((1) - 3)}^{3}}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 14.1.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{8}{- 8}$

ステップ 14.2

$8$ を $- 8$ で割ります。

$- 1$

ステップ 15

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 16

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} - 5}{(1) - 3}$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1 - 5}{1 - 3}$

ステップ 16.2.1.2

$1$ から $5$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 4}{1 - 3}$

ステップ 16.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$1$ から $3$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 4}{- 2}$

ステップ 16.2.2.2

$- 4$ を $- 2$ で割ります。

$f (1) = 2$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 17

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ の極値です。

$(5, 10)$ は極小値です

$(1, 2)$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例