微分積分例

$y = x^{4} - 2 x^{2}$

ステップ 1

$y = x^{4} - 2 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$4 x^{3} - 4 x$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 x^{3} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 3.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 4 x = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

ステップ 5.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x)$

ステップ 5.1.2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 4 x$ です。

$4 x^{3} - 4 x$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 4 x = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 4 x = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

ステップ 6.2.1.2

$4 x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

ステップ 6.2.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 6.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 6.2.3

因数分解。

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ステップ 6.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 6.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 6.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.7

最終解は $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1, 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 1, 1$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0)}^{2} - 4$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 - 4$

ステップ 10.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$0 - 4$

ステップ 10.2

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 11

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 12

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2}$

ステップ 12.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

ステップ 12.2.1.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 12.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 13

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 1 - 4$

ステップ 14.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$12 - 4$

ステップ 14.2

$12$ から $4$ を引きます。

$8$

ステップ 15

$x = - 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極小値です

ステップ 16

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{2}$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- 1) = 1 - 2 {(- 1)}^{2}$

ステップ 16.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1$

ステップ 16.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = 1 - 2$

ステップ 16.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f (- 1) = - 1$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 17

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(1)}^{2} - 4$

ステップ 18

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$12 \cdot 1 - 4$

ステップ 18.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$12 - 4$

ステップ 18.2

$12$ から $4$ を引きます。

$8$

ステップ 19

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 20

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{2}$

ステップ 20.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2}$

ステップ 20.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1$

ステップ 20.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 2$

ステップ 20.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f (1) = - 1$

ステップ 20.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 21

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極大値です

$(- 1, - 1)$ は極小値です

$(1, - 1)$ は極小値です

ステップ 22

微分積分 例

微分積分例