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微分積分 例
ステップ 1
ステップ 1.1
およびのとき、はであるという積の法則を使って微分します。
ステップ 1.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 1.3
べき乗則を使って微分します。
ステップ 1.3.1
とをまとめます。
ステップ 1.3.2
との共通因数を約分します。
ステップ 1.3.2.1
をで因数分解します。
ステップ 1.3.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 1.3.2.2.1
を乗します。
ステップ 1.3.2.2.2
をで因数分解します。
ステップ 1.3.2.2.3
共通因数を約分します。
ステップ 1.3.2.2.4
式を書き換えます。
ステップ 1.3.2.2.5
をで割ります。
ステップ 1.3.3
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.3.4
項を並べ替えます。
ステップ 2
ステップ 2.1
微分します。
ステップ 2.1.1
総和則では、のに関する積分はです。
ステップ 2.1.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.2
の値を求めます。
ステップ 2.2.1
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2.2
およびのとき、はであるという積の法則を使って微分します。
ステップ 2.2.3
に関するの微分係数はです。
ステップ 2.2.4
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.2.5
とをまとめます。
ステップ 2.2.6
との共通因数を約分します。
ステップ 2.2.6.1
をで因数分解します。
ステップ 2.2.6.2
共通因数を約分します。
ステップ 2.2.6.2.1
を乗します。
ステップ 2.2.6.2.2
をで因数分解します。
ステップ 2.2.6.2.3
共通因数を約分します。
ステップ 2.2.6.2.4
式を書き換えます。
ステップ 2.2.6.2.5
をで割ります。
ステップ 2.3
簡約します。
ステップ 2.3.1
分配則を当てはめます。
ステップ 2.3.2
項をまとめます。
ステップ 2.3.2.1
にをかけます。
ステップ 2.3.2.2
とをたし算します。
ステップ 2.3.3
項を並べ替えます。
ステップ 3
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 4
ステップ 4.1
一次導関数を求めます。
ステップ 4.1.1
およびのとき、はであるという積の法則を使って微分します。
ステップ 4.1.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 4.1.3
べき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.3.1
とをまとめます。
ステップ 4.1.3.2
との共通因数を約分します。
ステップ 4.1.3.2.1
をで因数分解します。
ステップ 4.1.3.2.2
共通因数を約分します。
ステップ 4.1.3.2.2.1
を乗します。
ステップ 4.1.3.2.2.2
をで因数分解します。
ステップ 4.1.3.2.2.3
共通因数を約分します。
ステップ 4.1.3.2.2.4
式を書き換えます。
ステップ 4.1.3.2.2.5
をで割ります。
ステップ 4.1.3.3
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 4.1.3.4
項を並べ替えます。
ステップ 4.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 5
ステップ 5.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 5.2
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 5.3
の各項をで割り、簡約します。
ステップ 5.3.1
の各項をで割ります。
ステップ 5.3.2
左辺を簡約します。
ステップ 5.3.2.1
の共通因数を約分します。
ステップ 5.3.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.3.2.1.2
式を書き換えます。
ステップ 5.3.2.2
の共通因数を約分します。
ステップ 5.3.2.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.3.2.2.2
をで割ります。
ステップ 5.3.3
右辺を簡約します。
ステップ 5.3.3.1
の共通因数を約分します。
ステップ 5.3.3.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.3.3.1.2
式を書き換えます。
ステップ 5.3.3.2
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 5.4
について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。
ステップ 5.5
対数の定義を利用してを指数表記に書き換えます。とが正の実数でならば、はと同値です。
ステップ 5.6
について解きます。
ステップ 5.6.1
方程式をとして書き換えます。
ステップ 5.6.2
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 6
ステップ 6.1
の偏角をより小さいとして、式が未定義である場所を求めます。
ステップ 6.2
分母がに等しい、平方根の引数がより小さい、または対数の引数が以下の場合、方程式は未定義です。
ステップ 7
値を求める臨界点です。
ステップ 8
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 9
ステップ 9.1
各項を簡約します。
ステップ 9.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 9.1.2
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 9.1.3
の指数を掛けます。
ステップ 9.1.3.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 9.1.3.2
とをまとめます。
ステップ 9.1.4
とをまとめます。
ステップ 9.1.5
積の法則をに当てはめます。
ステップ 9.1.6
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 9.1.7
の指数を掛けます。
ステップ 9.1.7.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 9.1.7.2
とをまとめます。
ステップ 9.1.8
とをまとめます。
ステップ 9.1.9
負の指数法則を利用してを分子に移動させます。
ステップ 9.1.10
を対数の外に移動させて、を展開します。
ステップ 9.1.11
の自然対数はです。
ステップ 9.1.12
にをかけます。
ステップ 9.1.13
の共通因数を約分します。
ステップ 9.1.13.1
の先頭の負を分子に移動させます。
ステップ 9.1.13.2
をで因数分解します。
ステップ 9.1.13.3
共通因数を約分します。
ステップ 9.1.13.4
式を書き換えます。
ステップ 9.1.14
とをまとめます。
ステップ 9.1.15
にをかけます。
ステップ 9.1.16
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 9.2
分数をまとめます。
ステップ 9.2.1
公分母の分子をまとめます。
ステップ 9.2.2
からを引きます。
ステップ 10
は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極小値です
ステップ 11
ステップ 11.1
式の変数をで置換えます。
ステップ 11.2
結果を簡約します。
ステップ 11.2.1
式を簡約します。
ステップ 11.2.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 11.2.1.2
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 11.2.2
分母を簡約します。
ステップ 11.2.2.1
の指数を掛けます。
ステップ 11.2.2.1.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 11.2.2.1.2
の共通因数を約分します。
ステップ 11.2.2.1.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 11.2.2.1.2.2
式を書き換えます。
ステップ 11.2.2.2
簡約します。
ステップ 11.2.3
負の指数法則を利用してを分子に移動させます。
ステップ 11.2.4
を対数の外に移動させて、を展開します。
ステップ 11.2.5
の自然対数はです。
ステップ 11.2.6
にをかけます。
ステップ 11.2.7
にをかけます。
ステップ 11.2.8
をの左に移動させます。
ステップ 11.2.9
最終的な答えはです。
ステップ 12
の極値です。
は極小値です
ステップ 13