微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x^{2}}{2 x - x^{2}}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 2.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

ステップ 2.2.2

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

ステップ 2.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

ステップ 2.2.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

ステップ 2.2.2.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

ステップ 2.2.2.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{\frac{2}{x} - 1}$

ステップ 2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

ステップ 2.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

ステップ 2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{0} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

ステップ 4.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 4.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{0} + 1}{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{0} + 1}{2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{0} + 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2

答えを簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{0 - 1}$

ステップ 6.2.2.3

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{- 1}$

ステップ 6.2.3

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- 1$

微分積分 例

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