微分積分例

$lim_{x \to 8} {(1 - \frac{4}{x})}^{x}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} - \frac{4}{x})}^{x}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 8} {(\frac{x - 4}{x})}^{x}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

${(\frac{x - 4}{x})}^{x}$ を $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})}$

ステップ 2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{x - 4}{x})}^{x})$ を展開します。

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x - 4}{x})}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x - 4}{x})}$

ステップ 3.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x})}$

ステップ 3.3

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x - 4}{x})}$

ステップ 3.4

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 4}{lim_{x \to 8} x})}$

ステップ 3.5

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} x})}$

ステップ 3.6

$x$ が $8$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

ステップ 4

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

ステップ 4.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x})}$

ステップ 4.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

対数の中の $8$ を移動させて $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})$ を簡約します。

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}^{8})}$

ステップ 5.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8})}^{8}$

ステップ 5.3

$8 - 1 \cdot 4$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$8$ を $- 1 (- 8)$ に書き換えます。

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 \cdot 4}{8})}^{8}$

ステップ 5.3.2

$- 1$ を $- 1 \cdot 4$ で因数分解します。

${(\frac{- 1 (- 8) - 1 (4)}{8})}^{8}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ を $- 1 (- 8) - 1 (4)$ で因数分解します。

${(\frac{- 1 (- 8 + 4)}{8})}^{8}$

ステップ 5.3.4

$4$ を $- 1 (- 8 + 4)$ で因数分解します。

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{8})}^{8}$

ステップ 5.3.5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{4 (2)})}^{8}$

ステップ 5.3.5.2

共通因数を約分します。

${(\frac{4 (- 1 (- 2 + 1))}{4 \cdot 2})}^{8}$

ステップ 5.3.5.3

式を書き換えます。

${(\frac{- 1 (- 2 + 1)}{2})}^{8}$

ステップ 5.4

$- 2$ と $1$ をたし算します。

${(\frac{- 1 \cdot - 1}{2})}^{8}$

ステップ 5.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

${(\frac{1}{2})}^{8}$

ステップ 5.6

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1^{8}}{2^{8}}$

ステップ 5.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2^{8}}$

ステップ 5.8

$2$ を $8$ 乗します。

$\frac{1}{256}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{256}$

10進法形式：

$0.00390625$

微分積分 例

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