微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{2}}{x}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{2 + x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x}$

ステップ 1.2

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 + x}{2 + x}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(2 + x) \cdot 2$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{2 + x}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2 + x}{2 + x}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

ステップ 1.3.3

$(2 + x) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + x)} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}}{x}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.1.2

$\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x) x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 - (2 + x)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

ステップ 3.1.2

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$x$ を $0$ に代入し、 $2 - (2 + x)$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - (2 + 0)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

ステップ 3.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.2.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

ステップ 3.1.2.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 + x \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1.3.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.5

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.3.5.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.5.2

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.5.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $2 - (2 + x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (2 + x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [2 + x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [2 + x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3.4.2

総和則では、 $2 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3.4.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3.4.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3.4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3.5

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

ステップ 3.3.6

$f (x) = 2 + x$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

ステップ 3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

ステップ 3.3.8

$2 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

ステップ 3.3.9

総和則では、 $2 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.10

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.3.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \cdot 1}$

ステップ 3.3.13

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x}$

ステップ 3.3.14

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + 2 x}$

ステップ 3.3.15

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 2}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $- 1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 4.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 4.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

ステップ 5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 2}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + 2}$

ステップ 6.1.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{4}$

10進法形式：

$- 0.25$

微分積分 例

微分積分例